Description
如果某个串可以由两个一样的串前后连接得到，我们就称之为“偶串”。比如说“xyzxyz”和“aaaaaa”是偶串，而“ababab”和“xyzxy”则不是偶串。 对于一个非空串\(S\)，我们定义\(f(S)\)是在\(S\)后面添加一些字符得到的最短偶串。比如\(f(\)'abaaba'\()=\)'abaababaab'。容易证明，对于一个非空串\(S\)，\(f(S)\)是唯一的 。 现在给定一个由小写英文字母构成的偶串\(S\)，你需要求出\(f^{10^{100}}(S)\)，并统计计算结果的第\(l\)个字符到第\(r\)个字符中，每个字母出现了多少次 。 其中，\(f^{10^{100}}(S)\)是指\(f(f(f(...f(S)...)))\)，式子中共有\(10^{100}\)个\(f\) 。
Solution
打表找规律。从整个串来寻找规律看不出什么，反而是分别考虑两半的变化比较有效。 我们称\(T\)为\(S\)的"Border"，当且仅当\(S\)作为\(T\)的循环串的前缀出现，且\(T\)长度最小。 现有输入串\(SS\)，令\(S\)的"Border"为\(T\)，则会发现：\[ SS\rightarrow (ST)(ST)\rightarrow (STS)(STS)\rightarrow(STSST)(STSST)... \] 由于操作次数过多，只考虑前半部分的变化，就能回答所有询问：\[ S\rightarrow ST\rightarrow STS\rightarrow STSST\rightarrow STSSTSTS \] 我们发现，从第三个串开始，每一个串\(i\)，都是由串\(i-1\)+串\(i-2\)得来。姑且称它们为\(\text{fib}\)串。 特别地：若\(|S|-|T|\)整除\(|S|\)，则变化为\[ S\rightarrow ST\rightarrow STT\rightarrow STTT... \] 特判掉这种情况。 记\(len_i\)为第\(i\)个\(\text{fib}\)串的长度，\(g_{i,j}\)为第\(i\)个\(\text{fib}\)串中\(j\)字符出现了多少次。由于\(\text{fib}\)在第85项左右就已经超出了\(1e18\)，因此我们可以暴力计算出这两个数组。 对答案差分，假设要求\(1...r\)中，每个字符的出现次数。 有结论是，只要有\(len_{x_1}+len_{x_2}+...+len_{x_k}=r\)，且\(len_{x_1}>len_{x_2}>...>len_{x_k}\)，则\(1...r\)这个字符串就可以用\(x_1,x_2,...,x_k\)这\(k\)个\(\text{fib}\)串首尾相接得到。 所以对于询问我们从大到小枚举\(\text{fib}\)串累加每个字符的答案。最后可能会剩余一定长度无法消去，但剩余的长度一定不超过\(|S|\)（在\(\text{fib}\)串中甚至没有组成一个元素\(S\)），且是\(S\)的一个前缀，额外计算上这些部分即可。
Code
#include#include using namespace std;typedef long long ll;const int N=200005;int n,up,nex[N],type;char str[N];int pre[N][26];ll l,r,cut,len[100],ans[26];ll f[100][26];void readData(){ scanf("%s%lld%lld",str+1,&l,&r); n=strlen(str+1); n>>=1; for(int i=1;i<=n;i++){ for(int j=0;j<26;j++) pre[i][j]=pre[i-1][j]; pre[i][str[i]-'a']++; }}void getNex(){ nex[1]=0; for(int i=2,j;i<=n;i++){ j=nex[i-1]; while(j&&str[j+1]!=str[i]) j=nex[j]; nex[i]=(str[j+1]==str[i])?j+1:0; }}void preWork(){ len[1]=n; for(int i=1;i<=n;i++){ f[1][str[i]-'a']++; f[2][str[i]-'a']++; } len[2]=n+cut; for(int i=0;i<26;i++) f[2][i]+=pre[cut][i]; for(int i=3;;i++){ for(int j=0;j<26;j++) f[i][j]=f[i-2][j]+f[i-1][j]; len[i]=len[i-2]+len[i-1]; if(len[i]>1e18){ up=i; break; } }}void calc1(ll m,ll a){ if(m<=0) return; ll t=m/cut; for(int i=0;i<26;i++) ans[i]+=a*t*pre[cut][i]; t=m%cut; for(int i=0;i<26;i++) ans[i]+=a*pre[t][i];}void calc2(ll m,ll a){ for(int i=up;i>=1;i--) if(len[i]<=m){ m-=len[i]; for(int j=0;j<26;j++) ans[j]+=a*f[i][j]; } for(int j=0;j<26;j++) ans[j]+=a*pre[m][j];}int main(){ readData(); getNex(); cut=n-nex[n]; if(n%cut==0){ calc1(r,1); calc1(l-1,-1); } else{ preWork(); calc2(r,1); calc2(l-1,-1); } for(int i=0;i<26;i++) printf("%lld ",ans[i]); return 0;}